Տոկոսը գտնելու բանաձև՝ համապարփակ ուղեցույց

Ներածություն

Տոկոսները մաթեմատիկայի կարևոր հասկացություն են, որոնք վճռորոշ դեր են խաղում տարբեր ոլորտներում՝ ֆինանսներից մինչև կրթություն, առողջապահություն և բիզնես: «Տոկոս» բառը գալիս է լատիներեն «percentum» տերմինից, որը նշանակում է «հարյուրով»: Այն վերաբերում է 100ի կոտորակին, ըստ էության, ցույց տալով, թե հարյուրից որքանն է ներկայացնում որոշակի արժեքը: Այս հոդվածում մենք կխորանանք տոկոսներ գտնելու բանաձևի մեջ, կուսումնասիրենք գործնական օրինակներ, կբացահայտենք տարբեր սցենարներ, որտեղ կիրառվում են տոկոսները և կքննարկենք տոկոսների հետ արդյունավետ աշխատելու խորհուրդներ:

Հիմնական տոկոսային բանաձև

Տոկոսը հաշվարկելու հիմնական բանաձևը պարզ է.

Տոկոս = (Մաս/Ամբողջ) × 100

Որտեղ:

• Մասնակցում է արժեքը կամ քանակությունը, որը դուք համեմատում եք ամբողջի հետ:
• Ամբողջական արժեքն է:
• 100ը կոտորակը տոկոսի վերածելու բազմապատկիչն է:

Ենթադրենք, թեստում ստացել եք 45ը 60ից և ցանկանում եք գտնել տոկոսային միավորը: Օգտագործելով տոկոսային բանաձևը՝

Տոկոս = (45 / 60) × 100 = 0,75 × 100 = 75%

Այս հաշվարկը ցույց է տալիս, որ դուք թեստում հավաքել եք 75%:

Տոկոսային բանաձևի հիմնական տատանումները

Հիմնական տոկոսային բանաձևը կարող է փոփոխվել տարբեր սցենարների համար: Այս տատանումները էական են տոկոսային խնդիրներ լուծելու համար, ինչպիսիք են տոկոսով տրված մասը և ամբողջը գտնելը կամ ամբողջը, տրված մասը և տոկոսը գտնելը:

Երբեմն դուք գիտեք տոկոսը և ընդհանուր արժեքը և ցանկանում եք որոշել, թե ինչ քանակ է ներկայացնում այդ տոկոսը: Բանաձևը դառնում է՝

Մաս= (Տոկոս / 100) × Ամբողջական

Պատկերացրեք, որ գիտեք, որ 80 ուսանողներից բաղկացած դասարանի 25%ը ստացել է A գնահատական: Պարզելու համար, թե քանի ուսանող է ստացել A՝

Մաս = (25 / 100) × 80 = 0,25 × 80 = 20

Սա նշանակում է, որ 20 ուսանող ստացել է A գնահատական:

Որոշ դեպքերում դուք կարող եք իմանալ մասը և տոկոսը, բայց ոչ ամբողջը: Ամբողջը գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

Ամբողջական= Մաս / (Տոկոս / 100)

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ ընկերությունում 40 մարդ կազմում է ընդհանուր աշխատուժի 20%ը: Աշխատակիցների ընդհանուր թիվը գտնելու համար՝

Ամբողջ= 40 / (20 / 100) = 40 / 0,2 = 200

Այսպիսով, ընկերությունն ընդհանուր առմամբ ունի 200 աշխատակից:

Հասկանալով տոկոսային փոփոխությունը

Մեկ այլ կարևոր հասկացություն, որը ներառում է տոկոսներ, տոկոսային փոփոխությունն է: Տոկոսային փոփոխությունը չափում է այն չափը, որով արժեքն աճել կամ նվազել է իր սկզբնական արժեքի համեմատ: Տոկոսային փոփոխության բանաձևը հետևյալն է.

Տոկոսային փոփոխություն= (Նոր արժեք սկզբնական արժեք) / Սկզբնական արժեք × 100

Եթե ապրանքի գինը $50ից հասել է $65ի, կարող եք հաշվարկել տոկոսային աճը հետևյալ կերպ.

Տոկոսային աճ= (65 50) / 50 × 100 = 15 / 50 × 100 = 30%

Այսպիսով, գինը բարձրացել է 30%ով:

Եթե ապրանքի գինը $80ից իջնի $60, ապա տոկոսային նվազումը կլինի՝

Տոկոսային նվազում= (60 80) / 80 × 100 = 25%

Սա ցույց է տալիս ապրանքի գնի 25% նվազում:

Տոկոսների ընդհանուր կիրառում

Տոկոսներն ամենուր են առօրյա կյանքում: Ահա մի քանի ընդհանուր ոլորտներ, որտեղ տոկոսները հաճախ օգտագործվում են.

Տոկոսադրույքներ. Բանկային և ֆինանսական ոլորտում տոկոսադրույքները հաճախ արտահայտվում են որպես տոկոս: Անկախ նրանից, թե դա խնայողական հաշվին է, որը տոկոս է վաստակում, թե վարկի տոկոսը կուտակում է, տոկոսադրույքը գրեթե միշտ ներկայացված է որպես մայր գումարի տոկոս:

Տոկոսների պարզ բանաձևը հետևյալն է.

Պարզ տոկոսադրույք= (հիմնական × դրույքաչափ × ժամանակ) / 100

Եթե ներդնեք $1000 5% տոկոսադրույքով մեկ տարվա ընթացքում՝

Պարզ տոկոսադրույք= (1000 × 5 × 1) / 100 = 50

Սա նշանակում է, որ դուք կվաստակեք $50 տոկոսադրույքով:

40 դոլար արժողությամբ վերնաշապիկը վաճառվում է 20% զեղչով.

Զեղչ= (20 / 100) × 40 = 8

Այսպիսով, նոր գինն է՝

40 8 = 32

Ակադեմիական աշխարհում տոկոսները լայնորեն օգտագործվում են ուսանողների կատարողականը գնահատելու համար: Օրինակ, քննության ընթացքում ուսանողի ընդհանուր միավորները սովորաբար արտահայտվում են որպես առավելագույն հնարավոր միավորների տոկոս:

Ուսանողը քննության ժամանակ հավաքել է 100ից 85ը: Տոկոսը գտնելու համար՝

Տոկոս = (85 / 100) × 100 = 85%

Առողջապահության մեջ տոկոսները հաճախ օգտագործվում են վիճակագրության, հաշվետվությունների և սուrveys. Օրինակ՝ տոկոսները կարող են ցույց տալ հիվանդությամբ տառապող մարդկանց մասնաբաժինը, բուժման արդյունավետությունը կամ պատվաստումների տոկոսադրույքները:

Եթե համայնքի 100 հոգուց 75ը պատվաստվել է, ապա պատվաստումների մակարդակը հետևյալն է.

Տոկոս = (75 / 100) × 100 = 75%

Բիզնեսում տոկոսներն օգտագործվում են շահույթի մարժան հաշվարկելու, շուկայի մասնաբաժինները վերլուծելու և հաճախորդների գոհունակությունը գնահատելու համար:

Եթե ընկերությունը վաստակում է $200,000 եկամուտ և ունի $150,000 ծախսեր, ապա շահույթի մարժան է.

Շահույթի մարժա= (200,000 150,000) / 200,000 × 100 = 25%

Սա նշանակում է, որ ընկերությունն ունի 25% շահույթ:

Տոկոսների հետ աշխատելու խորհուրդներ

• Փոխակերպեք տոկոսները տասնորդականների: Երբեմն ավելի հեշտ է աշխատել տոկոսների հետ՝ դրանք վերածելով տասնորդականների: Տոկոսը տասնորդականի վերածելու համար այն բաժանեք 100ի: Օրինակ՝ 25%ը դառնում է 0,25:
• Անհայտների լուծման համար խաչաձև բազմապատկել: Այն խնդիրներում, որտեղ օգտագործվում է տոկոսային բանաձևը, կարող եք խաչաձև բազմապատկել անհայտ արժեքները լուծելու համար:
• Տոկոսային միավորներ ընդդեմ տոկոսի: Տեղյակ եղեք «տոկոսային միավորների» և «տոկոսների» միջև եղած տարբերության մասին: Եթե ​​տոկոսադրույքը բարձրանում է 4%ից մինչև 5%, դա 1 տոկոսային կետով աճ է, բայց սկզբնական դրույքաչափի համեմատ 25% աճ է:

Բարդ տոկոսներ և տոկոսներ

Ամենակարևոր ֆինանսական հասկացություններից մեկը, որտեղ տոկոսները կիրառվում են, բաղադրյալ տոկոսն է: Թեև պարզ տոկոսն ապահովում է ուղղակի հաշվարկ՝ հիմնված մայր գումարի վրա, բարդ տոկոսները հաշվի են առնում և՛ մայր գումարի, և՛ նախկինում վաստակած տոկոսները, ինչը ժամանակի ընթացքում հանգեցնում է ավելի արագ աճի:

Բարդ տոկոսադրույքի բանաձևը հետևյալն է.

Բաղադրյալ տոկոսադրույք = P (1 r / n)^nt

Որտեղ:

• Այս տարի հետո կուտակված գումարն է՝ ներառյալ տոկոսները:
• Սի հիմնական գումարն է (նախնական ներդրումը):
• տարեկան տոկոսադրույքն է (որպես տասնորդական):
• տարեկան տոկոսագումարների քանակն է:
• քանի է գումարի ներդրման տարիների թիվը:

Ենթադրենք, դուք ներդրում եք $1000 խնայողական հաշվի մեջ, որը վճարում է տարեկան 5% տոկոսադրույք: 5 տարի հետո գումարը հաշվարկելու համար՝

Գումարը= 1000 (1 0,05 / 1)^{1 × 5}= 1000 (1,05)⁵= 1000 × 1,27628 = 1276,28

Այսպիսով, 5 տարի հետո ձեր ներդրումը կաճի մինչև $1,276,28, որը ներառում է $276,28 տոկոսադրույքը:

Բարդ տոկոսների ուժը հասկանալու համար համեմատեք այն պարզ տոկոսի հետ: Օգտագործելով նույն օրինակը, բայց պարզ հետաքրքրությամբ.

Պարզ տոկոսադրույք= (1000 × 5 × 5) / 100 = 250

Պարզ տոկոսներով դուք կվաստակեիք ընդամենը $250, մինչդեռ բարդ տոկոսներով դուք կվաստակեք $276,28: Տարբերությունը կարող է ի սկզբանե փոքր թվալ, բայց ավելի երկար ժամանակահատվածներում և ավելի բարձր տոկոսադրույքների դեպքում տարբերությունը շատ ավելի էական է դառնում: